Question

如图，对称轴为直线x= - 7 2 的抛物线经过点A（-6，0）和点B（0，4）．（1）求抛物线的解析式

如图，对称轴为直线x= - 7 2 的抛物线经过点A（-6，0）和点B（0，4）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上的一个动点，且位于第三象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求?OEAF的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当?OEAF的面积为24时，请判断?OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使?OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．?

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+ 7 2 ） 2 +k（k≠0）， 则依题意得： 24 25 a+k=0， 49 4 a+k=4 解之得：a= 2 3 ， k=- 25 6 即：y= 2 3 （x+ 7 2 ） 2 - 25 6 ，顶点坐标为（- 7 2 ，- 25 6 ）； （2）∵点E（x，y）在抛物线上，且位于第三象限． ∴S=2S △OAE =2× 1 2 ×0A×（-y） =-6y =-4（x+ 7 2 ） 2 +25 （-6＜x＜-1）； ①当S=24时，即-4（x+ 7 2 ） 2 +25=24， 解之得：x 1 =-3，x 2 =-4 ∴点E为（-3，-4）或（-4，-4） 当点E为（-3，-4）时，满足OE=AE，故□OEAF是菱形； 当点E为（-4，-4）时，不满足OE=AE，故□OEAF不是菱形． ②不存在． 当0E⊥AE且OE=AE时，□OEAF是正方形，此时点E的坐标为（-3，-3）， 而点E不在抛物线上，故不存在点E，使□OEAF为正方形．