Question

（2013?闵行区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BC=2AD．DE⊥BC，垂足为点F，且F是DE的中

（2013?闵行区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BC=2AD．DE⊥BC，垂足为点F，且F是DE的中点，联结AE，交边BC于点G．（1）求证：四边形ABGD是平行四边形；（2）如果AD=2AB，求证：四边形DGEC是正方形．

Answer 1

证明：（1）∵DE⊥BC，且F是DE的中点，
∴DC=EC，
即得∠DCF=∠ECF，
又∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠DCF，AB=EC，
∴∠B=∠ECF，
∴AB∥EC，
又∵AB=EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴BG=CG=

1

2

BC，
∵BC=2AD，
∴AD=BG，
又∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是平行四边形；

（2）∵四边形ABGD是平行四边形，
∴AB∥DG，AB=DG，
又∵AB∥EC，AB=EC，
∴DG∥EC，DG=EC，
∴四边形DGEC是平行四边形，
又∵DC=EC，
∴四边形DGEC是菱形，
∴DG=DC，
由AD=

2

AB，即得CG=

2

DC=

2

DG，
∴DG²+DC²=CG²，
∴∠GDC=90°，
∴四边形DGEC是正方形．

Answer 2

（1）证明△ABG和△CDG全等。 

因为CG为DE的垂直平分线，得出∠DGC=∠CGE,

同时，对顶角相等，那么∠CGE=∠AGB,

故得出∠DGC=∠AGB。

因为梯形ABCD为等腰梯形，

那么可以得出结论：∠ABC=∠DCB及AB=CD。

判定三角形全等的条件：

两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。

∠ABC=∠DCB，∠AGB=∠CGE及AB=CD,

可以判定△ABG全等于△DGC,

从而得出：BG=CG,G为BC中点。

因为BC=2AD，所以AD=BG=CG.

判定平行四边形的条件：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，

AD=BG且AD∥BG,所以四边形ABGD是平行四边形。

（2）对你第二个条件深表怀疑，AD=2AB，在相似三角形中AD=2GF，所以可以得出GF=AB,平行四边形中AB=DG,故得出DG=GF。但是△DFG为直角三角形，直角三角形中斜边是不可能等于直角边的。故无法证明结论。

希望对你有所帮助，若有疑问，请追问，若满意，请采纳一下^_^

Answer 3

AD∥BC，F是DE的中点,
∴AG=GE,
DE⊥BC,
∴DE⊥AD,
∴DG=AG.
作AG'∥CD交BC于G',则AD=G'C,AG'=CD,
BC=2AD,AB=CD,
∴BG'=AD,
∴四边形ABG'D是平行四边形，
∴DG'=AB=CD=AG',

于是G'与G重合，
∴四边形ABGD是平行四边形。
(2)AD=√2AB，(改题了),
∴AG^2+GD^2=AD^2,
∴AG⊥DG,
易知GE∥=DC,GE=DG,
∴四边形DGEC是正方形.

Answer 4

请采纳

Answer 5