Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-h）

如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为M；（1）写出h、k的值以及点A、B的坐标；（2）判断三角形BCM的形状，并计算其面积；（3）点P是抛物线上一动点，连接AP，以AP为一边作正方形APFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，请写出对应的点P的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=x²先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-1）²-4，
∴h=1，k=-4；
令y=0，即（x-1）²-4=0
解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B （3，0），

（2）∵令x=0，得y=（0-1）²-4=-3，
∴点C的坐标为（0，-3），点M的坐标为（1，-4）
∴BC=3

2

，MC=

2

，BM=2

5

∴BC²+MC²=BM²
∴△BMC是直角三角形； 
∴S=

1

2

BC?CM=

1

2

×3

2

×

2

=3；
（3）①如图（1），（2）当点G在y轴上时，
由△AOG≌△PHA，
得PH=OA，得y_P=x_A=-1，∴x²-2x-3=-1，
得x=1±

2

，∴P₁（1-

2

，-1），P₂（1+

2

，-1）
②如图（3），当点F在y轴上时，由△AMP≌△FNP，
得PM=PN，得y_P=x_P，
则x²-2x-3=x，
得x=

3± 21

2

，（x=

3? 21

2

舍去），
故P₃（

3+ 21

2

，

3+ 21

2

）．