Question

已知曲线C的极坐标方程是ρ=1,以极点为原点极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系

直线l的参数方程 x=1+t\2和y=2+√3t\2（t为参数），设曲线c经过压缩变换为x'=x和y'=1/2y得到曲线c'，设M(x,y)为曲线c'上任一点，则x*x-√3（x*y）+2y*y的最小值为

Answer 1

消去参数 t 可得直线 L 的直角坐标方程为 y=√3*(x-2) ,
由和角公式得 ρ^2*[(cosθ)^2-(sinθ)^2]=1 ,
因此 x^2-y^2=1 .这就是 C 的直角坐标方程.
两方程联立得 x^2-3(x-2)^2=1 ,
化简得 2x^2-12x+13=0 ,
设弦的两个端点分别为 A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则 x1+x2= 6 ,x1*x2=13/2 ,
因此 |AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=4(x2-x1)^2=4*[(x1+x2)^2-4x1*x2]=4*(36-26)=40 ,
所以弦长 |AB|=2√10 .