Question

高等数学，微分方程的疑问，如图所示，为何用两种方法解出来的满足初始条件的微分方程不一样？

Answer 1

都不对。一阶方程y'=f(x,y)的解必须限定在f(x,y)连续可微的区域。因此，方程的解只能在第一象限

追问

二是书上答案啊！

追答

右图左半支，其实是一个独立的函数，根本不通过(1,2)点。左支用x=Ce^(y²/(2x²)), (C<0)取代也是可以的。也就是说左支无法通过初始条件确定。

追问

应该怎么做？

追答

这个题目严格来说，只能取第一限的解。书上不一定准确。可能是为了初学者着想，简单化了。这个题目不错，涉及到解的唯一性，值得深入思考。

追问

我的解法错在哪里？

追答

错在这里: 求出了解，却又附加了一些无关的分支。

追问

我感觉您应该是学物理的，刚才我结合楼下的看法，发现解法一c不能取零，而实际上微分方程中，c应该是任意值。您看我这样理解行不行？

追答

C的处理过程:
(1) 将C当作任意常数。自然可以是0，或其它任意常数。
(2) 利用初始条件确定C。
这里排除C等于0，其实没有必要。直接用初始条件确定C即可。

Answer 2

左边的绝对值去的不合理。
如果有两段曲线同时满足一个微分方程，那么是把这两段曲线作为2个解呢还是合起来作为一个解呢？感觉这一点大学教材没有严格的说明

追问

c值不是＞0或者＜0吗，利用它不就去掉了吗？书上有不少这样做的啊！

刚才结合您的提示，我认为我的解法错了，因为c不能取零，而微分方程中c是可以取任意值的

不知道这样理解行不行？

追答

你去了绝对值，相当于方程的解由一个变成了两个。最简单的例子：
方程y'＝1/x
y＝ln|x|是一个解，包括两根曲线，而去绝对值后：
y＝ln(x)和y＝ln(-x)
变成了两个解。
差别在于定义域变了。