Question

如图所示，△ABC中,AB=AC，AD是BC边上的中点，P是AD上一点，过C作CF//AB，延长BP交

如图所示，△ABC中,AB=AC，AD是BC边上的中点，P是AD上一点，过C作CF//AB，延长BP交AC于E,交CF于F,求证：BP²=PE·PF

Answer 1

你好，你的题目里P是AD上一点， 你的图中没有标出。。
证明：连结PC．
∵　AB=AC，AD是中线，∴　AD是△ABC的对称轴．
∴　PC=PB，∠PCE=∠ABP．∵　CF∥AB，
∴　∠PFC=∠ABP．∴　∠PCE=∠PFC．
又　∠CPE=∠EPC，
∴　△EPG∽△CPF．
∴　PC/PF=PE/PC ，即　PC²=PE·PF．
∴　BP²=PE·PF．

Answer 2

连结PC，
AB=AC，AD是边BC的中线，故AD是等腰三角形的对称轴，高，角平分线和中线三线合一，故是BC的垂直平分线，
∴ BP=PC，
∵AP=AP（公用边），
AB=AC，
BP=PC，
∴△ABP≌△ACP，（SSS），
∠ABP=∠ACP，
因CF//AB，
故∠PFC=∠ABP（内错角相等），
故∠PFC=∠PCE，
∠EPC=∠CPF（公用角），
∴△PEC∽△PCF，
PC/PF=PE/PC，
PC^2=PE*PF,
前已证，
BP=PC，
∴BP^2=PE*PF.