Question

设函数f(x)定义在(-l,l)上,证明fx+f-x是偶函数,fx-f-x是奇函数

设函数f(x)定义在(-l,l)上,证明fx+f-x是偶函数,fx-f-x是奇函数

Answer 1

设g（x）=f（x）+f（-x），h（x）=f（x）-f（-x）。

首先g（x）和h（x）的定义域都是(-l，l)，相对原点对称。

则g（-x）=f（-x）+f（-（-x））=f-x）+f（x）=g（x）。

所以g（x）=f（x）+f（-x）是偶函数。

h（-x）=f（-x）-f（-（-x））=f（-x）-f（x）=-h（x）。

所以h（x）=f（x）-f（-x）是奇函数。

奇函数简介：

奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）= - f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数（odd function）。

1727年，年轻的瑞士数学家欧拉在提交给圣彼得堡科学院的旨在解决“反弹道问题”的一篇论文（原文为拉丁文）中，首次提出了奇、偶函数的概念。

Answer 2

设g（x）=f（x）+f（-x），h（x）=f（x）-f（-x）

首先g（x）和h（x）的定义域都是(-l,l)，相对原点对称。
则g（-x）=f（-x）+f（-（-x））=f-x）+f（x）=g（x）
所以g（x）=f（x）+f（-x）是偶函数
h（-x）=f（-x）-f（-（-x））=f（-x）-f（x）=-h（x）
所以h（x）=f（x）-f（-x）是奇函数。