在高等数学中,如何证明一个函数是周期函数
证明f(x+T)=f(x)即可。
周期函数的判定方法分为以下几步:
(1)判断f(x)的定义域是否有界;
例:f(x)=cosx(≤10)不是周期函数。
(2)根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(x+T)= f(x)中是与x无关的,故讨论时可通过解关于T的方程f(x+T)- f(x)=0,若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f(x)是周期函数,若这样的T不存在则f(x)为非周期函数。
例:f(x)=cosx^2 是非周期函数。
(3)一般用反证法证明。(若f(x)是周期函数,推出矛盾,从而得出f(x)是非周期函数)。
例:证f(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数。
证:假设f(x)=ax+b是周期函数,则存在T(≠0),使之成立 ,a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0,aT=0 又a≠0,
∴T=0与T≠0矛盾,
∴f(x)是非周期函数。
简介
对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。
事实上,任何一个常数kT(k∈Z,且k≠0)都是它的周期。并且周期函数f(x)的周期T是与x无关的非零常数,且周期函数不一定有最小正周期。
2017-09-27