Question

己知：如图，在三角形ABC中，AB=AC，D在CB延长线上。求证：AD的平方减AB的

己知：如图，在三角形ABC中，AB=AC，D在CB延长线上。求证：AD的平方减AB的平方等于BD乘以CD

Answer 1

证明：

作AE⊥DC，垂足E，则：

AD^2=AE^2+(BD+BE)^2=AE^2+BD^2+2BD*BE+BE^2……(1)
AB^2=AE^2+BE^2……(2)

(1)-(2)得：

AD^2-AB^2=BD^2+2BD*BE

在等腰△ABC中，E⊥BC

∴BE=EC=1/2BC，即BC=2BE

∴BD^2+2BD*BE=BD(BD+2BE)=BD(BD+BC)= BD*DC

亦即

AD^2-AB^2= BD*DC

Answer 2

证明：过点A做AE垂直BC于E
所以AE是三角形ABC的垂线
因为AB=AC
所以三角形ABC是等腰三角形
所以AE是等腰三角形ABC的垂线，中线
所以角AED=90度
BE=CE=1/2BC
所以三角形AEB和三角形AED是直角三角形
所以AD^2=AE^2+DE^2
AB^2=AE^2+BE^2
所以AD^2-AB^2=DE^2-BE^2
AD^2-AB^2=(DE+BE)(DE-BE)=(DE+CE)(DE-BE)
因为CD=DE+CE
CD=DE-BE
所以AD^2-AB^2=BD*CD

Answer 3