Question

已知椭圆C：x²/a²＋y²/b²=1的左右焦点分别是F1,F2,离心率为√2/2,P是椭圆C上的

动点，当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为√3/3.求椭圆C的标准方程

Answer 1

椭圆C：x²/a²＋y²/b²=1的左右焦点分别是F1,F2,离心率c/a=√2/2,
∴(a^2-b^2)/a^2=1/2,
∴a^2=2b^2,①
P是椭圆C上的动点，设PF1=t,则PF2=2a-t,当∠F1PF2＝60°时，
△PF1F2的面积=(1/2)t(2a-t)*√3/2=√3/3，
∴t(2a-t)=4/3,
由余弦定理，t^2+(2a-t)^2-t(2a-t)=4a^2-3t(2a-t)=4a^2-4=4c^2=4b^2,②
把①代入②，得8b^2-4=4b^2,解得b^2=1,
代入①，a^2=2,
∴椭圆C的标准方程是x^2/2+y^2=1.