Question

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//CD,角ABC=90°AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC垂直平面ABCD

Answer 1

<p>(1)</p>
<p>根据三维坐标系性质,证明如下:</p>
<p>将梯形ABCD置于X-Y平面中,B点在坐标原点,BC与Y轴重合。</p>
<p>∵∠ABC=90°</p>
<p>∴AB与X轴重合</p>
<p>△BCP平面与梯形ABCD平面垂直,即与X-Y平面垂直。</p>
<p>∵BC与Y轴重合</p>
<p>∴△BCP平面在Y-Z平面上</p>
<p>∵在三维坐标系中,X轴与Y-Z平面垂直</p>
<p>∴AB与△BCP平面垂直</p>
<p>证毕。还有其他证明方法,此处仅供参考。</p>
<p>(2)</p>
<p>根据投影原理,分析如下:</p>
<p>在平面PBC上,有一束光,将P点投影到BC的E点位置,PE⊥BC。</p>
<p>在平面PAD上,另一束光,将P点投影到AD的F点位置,PF⊥AD。</p>
<p>两束光的夹角就是平面PBC和平面PAD的夹角。</p>
<p>连接PE、PF和EF,△PEF是直角三角形,∠EPF是该两个平面的夹角。</p>
<p>见图,计算如下:</p>
<p>在俯视图中:</p>
<p>BE=CE=CD</p>
<p>AE^2=BE^2+AB^2=5CD^2</p>
<p>DE^2=CE^2+CD^2=2CD^2</p>
<p>AD^2=5CD^2</p>
<p>在正左视图中:</p>
<p>PB=PC=2CD
PE是三角形的高</p>
<p>PE^2=PB^2-BE^2=3CD^2</p>
<p>PE=√3CD</p>
<p>在侧前视图中:</p>
<p>PA^2=PE^2+AE^2=8CD^2</p>
<p>在侧后视图中:</p>
<p>PD^2=PE^2+DE^2=5CD^2</p>
<p>PD=AD=√5CD</p>
<p>在侧右视图中:</p>
<p>PA/Sinα=PD/Sin[(180°-α)/2]=PD/Cos(α/2)</p>
<p>[Cos(α/2)]^2/( Sinα)^2=PA^2/PD^2=5/8</p>
<p>(1+Cosα)×4=5×[1-(Cosα)^2]</p>
<p>(1+Cosα)×4=5×(1+Cosα)×(1-Cosα)</p>
<p>5Cosα=1
Cosα=1/5=DF/PD</p>
<p>DF=PD/5=√5CD/5
</p>
<p>DF^2=CD^2/5</p>
<p>PF^2=PD^2-DF^2=5CD^2-CD^2/5</p>
<p>
=24CD^2/5</p>
<p>PF=√(24/5)CD</p>
<p>在夹角剖面图中:</p>
<p>Cos(∠EPF)=PE/PF=√3CD/√(24/5)CD</p>
<p>
=√(5/8)</p>
<p>
=(√10)/4≈0.79</p>
<p>∠EPF≈37.8°</p>
<p>答:平面PAD和平面PBC的夹角约为37.8度。</p>
<p>供参考。</p>
<p></p>