Question

用高数的拉格朗日辅助函数

在椭圆x^2+4y^2=4上求一点,使其到直线2x+3y=6的距离最短.

Answer 1

一个定理的证明有两点,那就是该函数是否是满足定理的前提条件,二是看能不能推出定理的结论.
第一个这个函数在所证明的区间上是连续可导的.
第二就是证存在性了(就是是否存在一点满足等式)
这步可以直接照搬同济大学出版的高数书上的证明,就是拉格浪日定理的证明.
这里做些补充,那就是你可以设任意两点,a,b,并且a<b并且在上面给的区间内,然后构造辅助函数，
F(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)这个函数在[a,b]是满足罗尔定理的（注名这里的f(x)就是上面的函数）
有罗尔定理的结论就能得出存在一点在（a,b)，就是那个拉格朗日中值定理的式子
然后你就可以说因为a,b都是任意取的，所以拉格朗日中值定理在整个区间上都是满足的。
你可以看到本题其实根本就没用你告诉的函数，是通用的方法。