Question

高二数学一题。（复数）

复平面内点A对应的复数是1，过点A作虚轴的平行线L，设L上的点对应的复数为z，则1/z所对应的点的轨迹是什么？ 最佳答案追加20分``

Answer 1

分析:本题考查复平面上点的轨迹方程.因为在复平面内点A的坐标为(1,0),l过点A且平行于虚轴,所以直线l上的点对应的复数z的实部为1,可设为z=1+bi(b∈R),然后再求
所对应的点的集合.
解:如下图.因为点A对应的复数为1,直线l过点A且平行于虚轴,所以可设直线l上的点对应的复数为z=1+bi(b∈R).
因此
1/z=1/(1+bi)=(1-bi)/(1+b^2)=1/(1+b^2)-b/(1+b^2)i
.
设
1/z=x+yi(x、y∈R),于是
x+yi=
1/(1+b^2)
-
b/(1+b^2)i
根据复数相等的条件,有
x=1/(1+b^2)
y=
-
b/(1+b^2)i
消去b,有x^2+y^2=
1/(1+b^2)^2
+
[-
b/(1+b^2)i]^2
化简得1/(1+b^2)=x.
所以x^2+y^2=x(x≠0),
即(x－0.5
)^2
+
y^2=
0.25
(x≠0).
所以1/z
所对应的点的集合是以(
0.5,0)为圆心,0.5
为半径的圆,但不包括原点O(0,0).
评注:一般说来,求哪个动点的轨迹方程就设哪个动点的坐标为(x,y).所谓动点的轨迹方程就是动点坐标(x,y)所满足的等量关系.常见求曲线方程的方法有:轨迹法、待定系数法、代入法、参数法等.若把参数方程中的参数消去,就可把参数方程转化成普通方程.无论用什么方法求得曲线的方程,都要注意检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.对此,常从以下两个方面入手:一是看对方程的化简是否采用了非同解变形的手法;二是看是否符合题目的实际意义.其中,用参数法求得的曲线方程中的x、y的范围可由参数函数的值域来确定.