Question

证明方程x^5+x-1=0只有一个正根

Answer 1

证：设函数f(x)=x^5+x-1
假设方程f(x)=0存在两不等实根x1,x2,即f(x1)=f(x2)=0
则在开区间（x1,x2）上必然存在一点ξ，使得f”(ξ)=0
事实上，f”(x)=5x^4+1>0恒成立，与假设矛盾！
所以方程f(x)=0至多存在一个实根。
由因为f(0)=-1，f(1)=1,f(x)在（0,1）内必存在一实根。
综上所述，方程x^5+x-1=0只有一正根

Answer 2

y=x^5+x-1
y′=5x^4+1>0
所以
函数单调增所以与x轴至多有一个交点
当x=0
y=-1
当x=1
y=1
所以
在(0,1)内有一个值使得y=0
所以x^5+x-1=0有一个正根

Answer 3

要用函数连续性定理。
x^5+x-1=0
求导　5*x^4+1>0，为增函数。
x=0时x^5+x-1＝－1＜0,
x=1
时　x^5+x-1＝1＞0
因此在＋1和－1之间存在一个正根。并且只能有一个。

Answer 4

详情如图所示

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