Question

极限中1-cos3x等价于什么

高数求极限的一个题目,有些困惑
分子是（1-cos3x)sin2x-x^4sin(x^-1)
分母是ln(1+x^3)
疑惑是,什么时候可以等价无穷小代换.比如 现在分母可以之间换为x^3吗?如果可以,那么分子呢?分子里面不是乘法,那可不可以局部换呢?比如 （1-cos3x)sin2x ,这算两个部分相乘啊,可不可以换呢?如果换了,后面还有减法啊不知道怎么处理.什么时候该换什么时候不该换,大一学生.

Answer 1

分母可以直接替换
分子因为有加减,所以不能随意替换,但可以尝试
比如这道题,（1-cos3x)sin2x与x^3同阶,即与分母同阶
所以可以把式子拆成两个部分
lim[（1-cos3x)sin2x]/x^3 - lim[x^4sin(x^-1)]/x^3
结果容易得出
但如果分母是4次,即等价无穷小低于分母的阶数,就不能拆分,因为拆分后极限不存在
在这种情况下,即使（1-cos3x)sin2x是相乘,也不能替换.
这时就要用洛必达法则、泰勒展开或有理化等方法处理