Question

已知函数.求证:在上是增函数;若函数在上的值域是,求实数的取值范围.

已知函数. 求证:在上是增函数; 若函数在上的值域是,求实数的取值范围.

Answer 1

时,,在上是增函数.由此能够证明在上是增函数.
函数的定义域:或.当时,单调递增;当时,单调递减.当时,且且,即,且,且,这个式子等价于方程二元一次方程有两个正的不等实根,由此能求出的取值范围.
证明:时,,
,
在上是增函数.
解:函数的定义域:或.
当时,单调递增;当时,单调递减.
当时,且且,即,且,且,
这个式子等价于方程
有两个不等实根,即二元一次方程有两个正的不等实根,
当时,且,即,且,且,
.
根据以上情况,有:
对称轴,判别式,且时等式左边.解得.
,
,
因为,所以,即,所以
综上所述,的取值范围是或.
本题考查函数的单调性的证明,考查实数的取值范围的求法.解题时要认真审题,仔细解答,注意导数性质的灵活运用,合理地进行等价转化.