Question

如图,在平行四边形ABCD中,AE垂直BD,CF垂直BD,垂足分别为E、F.四边...

如图,在平行四边形ABCD中,AE垂直BD,CF垂直BD,垂足分别为E、F.四边形AECF是平行四边形吗?为什么? 今天晚上就要,要用5种方法 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；　 （5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

Answer 1

(1)∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF
在△ABE和△CDF中,∵AB=CD,∠ABD=∠CDF,∠AEB=∠CFD=90°
∴△ABE≌△CDF（AAS）
∴BE=DF
在△ADF和△BCE中,∵AD=BC,∠CBE=∠ADF,BE=DF
∴△ADF≌△BCE（SAS）
∴∠AFD=∠BEC
∴∠AFE=∠CEF
∴AF∥CE,结合AE∥CF可得AECF是平行四边形
（2）由（1）中所证△ABE≌△CDF可得AE=CF,所证△ADF≌△BCE可得AF=CE
所以AECF是平行四边形
（3）∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF
根据（1）中所证△ABE≌△CDF可得AE=CF
所以AECF是平行四边形
（4）连接AC交BD于点O
∵ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD
由（1）中所证△ABE≌△CDF可得BE=DF
∴OE=OF
所以AECF是平行四边形
（5）∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF
∴∠AFB=∠CED
在△ABF和△CDE中,∵∠ABF=∠CDE,∠AFB=∠CED
∴∠BAF=∠DCE
在△ABE和△CDF中,∵∠ABE=∠CDF,∠AEB=∠CFD=90°
∴∠BAE=∠DCF
∴∠EAF=∠ECF
在△AEF和△ECF中,∵∠EAF=∠ECF,∠AEF=∠CFE=90°
∴∠AFE=∠CEF
∵∠AFC=∠AEC
∴AECF是平行四边形
本题的证法不唯一,可以通过不同的方式得到需要的条件的