Question

已知函数f(x)＝exx2−ax+a．？

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）因为 f′(x)＝ e x ( x 2 −ax+a)− e x (2x−a) ( x 2 −ax+a) 2 ＝ [ x 2 −(a+2)x+2a] e x ( x 2 −ax+ a 2 ) 2 ＝ (x−2)(x−a) e x ( x 2 −ax+a) 2 ，令f'（x）=0，得x=a或2，由此能判断函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）法一：依题意有（t-1）f（x）≥（x-1）f（t），由x∈（1，t]，知 f(x) x−1 ≥ f(t) t−1 ，设 g(x)＝ f(x) x−1 ＝ e x x 2 (x−1) ，而g（x）≥g（t）在（1，t]上恒成立，由此能求出t的最大值．
法二：由 f(x) x−1 ≥ f(t) t−1 ，其几何意义是动点P（x，f（x）），与定点A（1，0）连线的斜率，当x=t时，取到最小值，由此能求出t的最大值．
（Ⅰ）因为f′(x)＝
ex(x2−ax+a)−ex(2x−a)
(x2−ax+a)2＝
[x2−(a+2)x+2a]ex
(x2−ax+a2)2＝
(x−2)(x−a)ex
(x2−ax+a)2，
令f'（x）=0，
∴x=a或2，
∴当0＜a＜2时，f（x）在（-∞，a）单调增，在（a，2）上单调减，在（2，+∞）上单调增；
当a=2时，f（x）在（-∞，+∞）单调增；
当2＜a＜4时，f（x）在（-∞，2）单调增，
在（2，a）上单调减，在（a，+∞）上单调增；
（Ⅱ）（方法一）依题意有（t-1）f（x）≥（x-1）f（t），
∵x∈（1，t]，∴
f(x)
x−1≥
f(t)
t−1，
设g(x)＝
f(x)
x−1＝
ex
x2(x−1)，
而g（x）≥g（t）在（1，t]上恒成立，
因为g′(x)＝
exx2(x−1)−ex(3x2−2x)
x4(x−1)2＝
ex(x2−4x+2)
x3(x−1)2，
令g'（x）=0，∴x＝2±
2
故g(x)在(1，2+
2)上单调减，在(2+
2，+∞)
,3,已知函数 f(x)＝ e x x 2 −ax+a ．
（Ⅰ）当0＜a＜4时，试判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=0时，对于任意的x∈（1，t]，恒有tf（x）-xf（t）≥f（x）-f（t），求t的最大值．