Question

向量OA=a,向量OB=b,且向量OC的模=2CA的模,向量CD的模=0.5DB的模则用ab表示OD

Answer 1

这是一个在问题被提出2天以后才作出的回答。估计有相当的难度。

建立坐标系，O点设为坐标系原点，向量OA=a=（a1,a2）,向量OB=b=(b1,b2),a1,a2;b1,b2分别是向量OA,OB的x,y坐标。
设C点的坐标是（x1,y1),D点的坐标是(x2,y2),
向量OC的模=2CA的模,向量CD的模=0.5DB的模，
|向量OC|=2|向量CA|=√[(x1)^2+(y1)^2]=2√[(a1-x1)^2+(a2-y1)^2],
(x1)^2+(y1)^2=4[(a1-x1)^2+(a2-y1)^2],
(x1)^2+(y1)^2=4(a1)^2-8a1x1+4(x1)^2+4(a2)^2-8a2y1+4(y1)^2,
3(x1)^2-8a1x1+3(y1)^2-8a2y1+4(a1)^2+4(a2)^2=0,
|向量CD|=√[x2-x1)^2+(y2-y1)^2]=0.5√[(b1-x2)^2+(b2-y2)^2]，
(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=0.25[(b1-x2)^2+(b2-y2)^2]，
(x1)^2-2x1x2+(x2)^2+(y1)^2-2y1y2+(y2)^2=0.25(b1)^2-0.5b1x2+0.25(x2)^2+0.25(b2)^2-0.5b2y2+0.25(y2)^2,
向量OD=(x2,y2),
把上面两个方程中的x1,y1;x2,y2求解出即可用来表示向量OD；但解析有一点难度，因为未知量个数多于方程个数。

似乎题目给出的已知关系数不够。
现在寻找潜在的已知条件：除了向量a向量b已知外，向量OC和向量CD分别已知它们的位置，即向量OC和向量CD与向量a向量b的夹角分别已知。设已知角度是<向量OA,向量OB>,<向量OA,向量OC>,<向量OA,向量OD>，并且每个角度的前一个边到后一个边是按逆时针方向操作。
向量OA=向量OC+向量CA,
(a1,a2)=(x1+a1-x1,y1+a2-y1),
con<OA,OC>=[OA•OC]/[|OA||OC|=[a1x1+a2y1]/{√[(a1)^2+a2)^2]√[(x1)^2+(y1)^2],
向量OB=向量OD+向量DB,
(b1,b2)=(x2+b1-x2,y2+b2-y2),
con<OB,OD>=con[<OA,OD>-<OA,OB>]=[OB•OD]/[|OB||OD|=[b1x2+b2y2]/{√[(b1)^2+b2)^2]√[(x2)^2+(y2)^2],
|向量OC|=2|向量CA|=√[(x1)^2+(y1)^2]=2√[(a1-x1)^2+(a2-y1)^2],
向量OD=向量OC+向量CD=(x2,y2)=(x1+x2-x1,y1+y2-y1),
Con<OC,OD>=con[<OA,OD>-<OA,OC>]=[OC•OD]/{√[(x1)^2+(y1)^2]√[(x2)^2+(y2)^2]},
|向量CD|=√[x2-x1)^2+(y2-y1)^2]=0.5√[(b1-x2)^2+(b2-y2)^2]，
现在，未知量是四个：x1,y1,x2,y2。具有等量关系的方程已经有8个，但独立的、能够发挥求解作用的至少有4个，就可以解出这四个未知量。

从而，可以用向量a,b表示向量OD.