Question

(6.7子空间的直和)设 W1=P[x]3, W2=P[x]4, 则dim(W1+W2)=() (？

Answer 1

在这里，我们有两个子空间 W1 和 W2，其中 W1 是由三次多项式组成的空间 P[x]^3，W2 是由四次多项式组成的空间 P[x]^4。

要计算子空间 W1+W2 的维度，我们可以使用直和定理。根据直和定理，如果两个子空间 W1 和 W2 满足以下条件：
1. W1 ∩ W2 = {0} （即 W1 和 W2 的交集只包含零向量）
2. 对于任意向量 v ∈ W1+W2，都可以唯一表示为 v = w1 + w2，其中 w1 ∈ W1，w2 ∈ W2

那么，W1+W2 的维度等于 W1 和 W2 的维度之和。

在这个问题中，由于 W1 和 W2 是由不同次数的多项式组成的，它们的交集只包含零多项式。因此，满足直和定理的条件。

维度的计算如下：
dim(W1+W2) = dim(W1) + dim(W2) = 3 + 4 = 7

因此，W1+W2 的维度为 7。

希望这可以帮助您理解子空间的直和和维度的计算。如有任何疑问，请随时提问。