Question

设f(x)和g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，且f(a)=f(b)=0，则f(x)g(x)+f(x)g(x)=0在(a，b)内有解．

Answer 1

【答案】：令F(x)=f(x)g(x)．
显然F(x)在[a，b]上满足罗尔定理的条件，则存在ξ∈(a，b)，使得
F'(ξ)=0
即 f'(ξ)g(ξ)+g'(ξ)f(ξ)=0
故原题得证．由于(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，因此作辅助函数
F'(x)=f(x)g(x)
注意这里的g(x)是任意的可导函数．