Question

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g(x)不等于0，f(a)g(b)=g

Answer 1

构造函数f(x)＝f(x)×e^(g(x))，则f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，由罗尔中值定理，存在一个ξ∈(a,b)，使f'(ξ)＝0，此即f'(ξ)+f(ξ)g'(ξ)＝0.

Answer 2

构造函数F(x)=f(x)/g(x)
则F`(x)=f`(x)g(x)-f(x)g`(x)/g^2(x)
f(a)g(b)=g(a)f(b)==>F(a)=F(b)
又roll定理存在一点t属于(a，b)，使得F`(t)=0
即f'(t)g(t)=f(t)g'(t)