Question

已知函数f(x)=x^2+2x. (1)数列an满足:a1=1,an+1=f`(an),求数列an的通项公式

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Answer 1

f(x)=x^2+2x
f'(x)=2x+2
a(n+1)=f'(an)=2an+2
则a(n+1)+2=2(an+2)
即{an+2}是个等比数列,首项3，公比2
an+2=3（2^n-1)
得an=3*2^n-5
因为a1=1也满足上式，
所以数列an的通项公式an=3*2^n-5

Answer 2

首先需要把递推公式求出来：
f'(x)=2x+2，因此a[n+1]=2a[n]+2。
这是一个线性递推式。由线性递推式求通项公式往往通过待定系数法将其转化为等比数列，即希望将递推式化为以下形式：
a[n+1]+k=q(a[n]+k)，
展开有
a[n+1]=qa[n]+qk-k。
对比之前我们得到的递推式有
q=2,qk-k=2，即k=2。
因此
a[n+1]+2=2(a[n]+2)，
即a[n]+2是公比为2的等比数列，即
a[n]+2=(a[1]+2)×2^(n-1)=3×2^(n-1)，
即
a[n]=3×2^(n-1)-2。