Question

x+y=3求1/x+2/y的最大值

Answer 1

要求1/x+2/y的最大值，可以使用拉格朗日乘数法来解决。

首先，我们定义一个函数f(x, y) = 1/x + 2/y。

然后，我们引入一个约束条件g(x, y) = x + y - 3 = 0。

根据拉格朗日乘数法，我们构建一个新的函数h(x, y, λ) = f(x, y) + λ * g(x, y)。

求解h(x, y, λ)的驻点，即求解以下方程组：

∂h/∂x = 0
∂h/∂y = 0
g(x, y) = 0

计算∂h/∂x和∂h/∂y：

∂h/∂x = -1/x^2 + λ = 0
∂h/∂y = -2/y^2 + λ = 0

解得x = -1/√λ，y = -2/√λ。

代入g(x, y) = 0，得到-1/√λ - 2/√λ - 3 = 0，解得λ = -1/9。

将λ代入x = -1/√λ，y = -2/√λ，得到x = -3/√9 = -1，y = -6/√9 = -2。

所以，驻点为(-1, -2)。

接下来，我们需要判断这个驻点是极大值还是极小值。

计算二阶偏导数：

∂^2h/∂x^2 = 2/x^3
∂^2h/∂y^2 = 4/y^3

计算二阶混合偏导数：

∂^2h/∂x∂y = 0

计算Hessian矩阵：

H = |∂^2h/∂x^2 ∂^2h/∂x∂y|
|∂^2h/∂x∂y ∂^2h/∂y^2|

代入驻点(-1, -2)，得到H = |2 0|
|0 4|

H的特征值为2和4，都大于0，所以H是正定矩阵。

根据二阶条件，驻点(-1, -2)是f(x, y)的极小值点。

所以，1/x+2/y的最大值为f(-1, -2) = 1/(-1) + 2/(-2) = -1 - 1 = -2。

Answer 2

当 x 趋于 0⁺ ，y 趋于 3⁻ 时，

1/x＋2/y 趋于 ＋∞，因此无最大值。

当 x、y 都是正数时，利用柯西不等式可求最小值