Question

x,y>0求(2x+1)(y+1)/(2x²+5y²+7)的最大值

Answer 1

当x和y的取值使分母足够小的话，该分数有最大值
当x→0，y→0时,分母的极限值→7
分子的极限值→1
所以该式的最大值是1/7

追问

答案是1/2

Answer 2

之前的回答只考虑了分母，并没有考虑分子。这种题的考点肯定是基本不等式。
将分母2x²+5y²+7拆开来。写成x²+4y²+x²+4+y²+1+2
其中利用基本不等式可以发现，x²+4y²≥4xy
同理可得，x²+4≥4x
y²+1≥2y
所以可得2x²+5y²+7≥4xy+4x+2y+2，提取2可得2（2xy+2x+y+1）
分子展开可得2xy+2x+y+1
所以原式变为2xy+2x+y+1/2x²+5y²+7
∵2x²+5y²+7是分母
∴上面所得到的不等式要变号，变为≤
所以原式≤2xy+2y+1/2（2xy+2x+y+1）
∴原式≤1/2
所以最大值为1/2