Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上，连接AD。求证：AD²-AB²=BD*CD

如图，已知△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上，连接AD。求证：AD²-AB²=BD*CD

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Answer 1

过A点做BC垂线 交于E点
直角三角形ADE、ADB
AB^2=AE^2+BE^2
AD^2=AE^2+(BD+BE)^2
AD²-AB²=BD^2+2BD*BE
CD=BD+BC
BD*CD=BD(BD+BC)
AD²-AB²-BD*CD=2BD*BE-BD*BC=0
即2BE=BC
因为AB=AC 即三角形ABD为等角三角形
且AE垂直于BC
所以AE平分BC 三线合一
所以BE=EC=1/2BC
即2BE=BC
所以AD²-AB²=BD*CD成立

Answer 2

从A 做abc的高，交点h,BH = CH;
AD^2 = AH^2 + DH^2
AB^2 = AH^2 + BH^2
AD²-AB² = DH^2 - BH^2 = (DH-BH)*(DH+BH) =(DH-BH)*(DH+CH) =BD*CD