Question

帮忙用数学归纳法证明下1/2的平方+1/3的平方一直加到1/N的平方小于1

注意 是2的平方分之1！

Answer 1

N = 2
1/(2^2) < 1/(2+1)*(2-1) = (1 - 1/3)/2 = 1/3 < 3/4 < 1

N = 3
1/(2^2) + 1/(3^3) < 1/(1*3) + 1/(4*2) = (1 - 1/3 + 1/2 - 1/4)/2 = 1/3 + 1/8 < 3/4 < 1

令 N = i-1 及 N = i 时，命题成立。

N = i + 1 时：
1）若 i + 1 为偶数：
∑=(1 - 1/(i + 2) + 1/2 - 1/(i + 1))/2 < 3/4 < 1
2) 若 i + 1 为奇数：
∑=(1 - 1/(i + 1) + 1/2 - 1/(i + 2))/2 < 3/4 < 1

综上....

Answer 2

1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9......<1

Answer 3

1/n^2 < 1/[n(n-1)] = 1/(n-1) - 1/n 知道这个就好办了

1/4+1/9+1/16+……1/N^2 = 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/N^2

<1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ... + 1/[(N(N-1)]

= 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/(N -1) - 1/N

= 1 - 1/N <1

所以 1/4+1/9+1/16+……1/N^2<1