Question

高数问题，高手请进

函数f(x)在第一类间断点处能否同时存在左导数和右导数？请写出详细的解释步骤。

Answer 1

不可以
左导数是
lim（△x趋近0-）(f(x+△x)-f(x))/△x
右导数是
lim（△x趋近0-）(f(x+△x)-f(x))/△x
当f(x)在x=a处间断时
lim（△x趋近0-）f(a+△x)为左极限
lim（△x趋近0+）f(a+△x)为右极限
总有一个不等于f(a)
即lim（△x趋近0-或+）(f(x+△x)-f(x))不等于0
lim（△x趋近0-或+）(f(x+△x)-f(x))/△x中
分子不趋近于0，分母趋近于0
值趋近于无穷大
即不存在
所以有这个结论
f(x)同时存在左导数和右导数时，f(x)连续

Answer 2

令A=sin1+sin1/2+...+sin1/n
sin1<A<n
左右两边开1/n次方后极限均为1.故原式极限为1

Answer 3

∵cosydx+(1+e^(-x))sinydy=0
==>dx/(1+(e-x))+sinydy/cosy=0
==>e^xdx/(1+e^x)-d(cosy)/cosy=0
==>d(1+e^x)=d(cosy)/cosy
==>ln(1+e^x)=ln|cosy|+ln|C|
(C是积分常数)
==>1+e^x=Ccosy
又当x=0时，y=π/3
∴2=C/2
∴C=4
故原微分方程的特解是：1+e^x=4cosy

Answer 4

、切比雪夫不等式：设随机变量X有期望E(X)与方差D(X)，则对任意正数ε，有

P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε^2,

或P{|X-E(X)|＜ε}≥1-D(X)/ε^2.

它表明，当D(X)很小时，X落入区间E(X)-ε，E(X)+ε是大概率事件，也即X的概率分布集中在期望E(X)附近。

2、贝努利大数定律：设m是n次独立重复试验中A发生的次数，p是事件A的概率：p=P(A)，则对任意正数ε有：

它表明：当n充分大时“频率m/n与概率p的绝对偏差小于任意给定的正数ε”。这正是“概率是频率稳定值”的确切含义。

贝努利大数定律成立的条件是，独立重复试验。

3、独立同分布序列的切比雪夫大数定律 设独立随机变量序列X1，X2，... ，Xn，...服从相同的分布，E(Xi)=μ,D(X)=σ^2(i=1,2...),则对于任意正数ε，有

它表明：n充分大时，“试验值~X与期望μ的绝对偏差小于任意给定正数ε”几乎必然会发生，这正是“期望是试验平均值的稳定值”的确切含义。

概率论中，大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述：时也是数理统计的重理论基础。

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二、了解独立同分布序列的中心极限定理，知道棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。

1、独立同分布序列的中心极限定理

当n充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N(nμ,nσ^2)

当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值的分布近似于正态分布N(μ,σ^2/n)
2、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

在贝努利试验中，若事件A发生的概率为p,又设m为n次独立重复试验中事件A发生的频数，则当n充分大时，m近似服从正态分布N(np,npq);

在贝努利试验中，若事件A发生概率为p,又设m/n为n次独立重复试验中事件A发生的频率，则当n充分大时，m/n近似服从正态分布N(p,pq/n)