Question

换个角度来建立微积分的基础理论怎么样，证明无理数比有理数多很多

之所以想提这个，是因为在学习微积分时有如下疑问：
很易证明：任意两个数之间必有一个有理数（根据分划，用反证法），但是如何证明任意两个数之间必有一个无理数呢，好像不太容易，至少用实数的基本性质不太方便；另外，有理数多，还是无理数多，这个问题类似于整数多还是分数多，因为是无限个，所以很多人认为想这个没意义，不过类似无穷大和高阶无穷大的概念，事情的真相毕竟只有一个，完整准确的看到事情的真相，是人生的重要乐趣之一啊，抛砖引玉，:-),敬请指教.
先看看教科书的提法：
1、分划的概念确定一个实数，以作为微积分基础
2、ε-δ语言建立的理论很基础，建立的理论非常严谨，不过是为了严谨而建立的东东，不好理解，好像是为了严谨的说明微积分的工具，不是为了思想的表达
实数有很多性质，为了研究实数，在众多性质中选定几个作为基本性质，由基本性质用逻辑退出众多定理，和有用的性质，这样可以使整个理论严谨的滴水不露，已知可以探索未知，过去可以演绎未来。这种方法是非常有用的，不过，就没有我们需要注意的弊端吗？自行车的定义是：自行车，又称脚踏车或单车，通常是二轮的小型陆上车辆。但是显然用定义去理解自行车很费解，实际上骑一骑就知道了；何况用定义去理解实数和微积分呢，数学是生活中的规律和符号的提纯和总结，用心生活，才能认识真相，学好数学啊，:-),跑题了，接着说：
这套理论的基石是实数的基本性质，换另外几个性质作为基本性质行吗，也是可以的，换个角度看问题，之前的死角就很容易了
基本性质1：实数就是无限小数
基本性质2：实数可以表示成数轴上的点
基本性质3：数轴的基本性质就是这根线左右无限延展，任意两点之间无限可分
有理数是无限循环小数，无理数是无限不循环小数
数轴上支持三种运算：加 乘 幂（其他运算可看为这三种的广义拓展）
f（X）= 有理数的数量 = 无穷
g（X）= 无理数的数量 = 无穷
用概率可知
g（X）/f（X）= 无穷
所以无理数的数量是有理数的高阶无穷大
更易证，任意两数之间，必有一无理数。

一点不成熟的想法，敬请指教

Answer 1

`````````````还````````````行`````````````