Question

高分~！高二数学~！在线等！

已知椭圆x²/45 +y²/ 20=1 的焦点分别是F1 F2，过中线O 做直线与椭圆相交于A,B，若△ABF2 的面积为20，求直线AB的方程。
前面发过一次，面积发错了不好意思。之前回答过我的请加注，我追加100分！

Answer 1

可设直线AB的方程为x=ky，代入椭圆方程得
k²y²/45+y²/20=1
(4k²+9)y²=180
y²=180/(4k²+9)
y1=-6√(5/(4k²+9))
y2=6√(5/(4k²+9))
c²=45-20=25
c=5，即OF2=5
S△ABF2=S△AOF2+S△BOF2
=1/2*5*(y2-y1)
=5*6√(5/(4k²+9))=20
解得k=3/4或k=-3/4
所以方程为x=3/4y或x=-3/4y
即y=4x/3或y=-4x/3

Answer 2

a²=45
b²=20
c²=25
F2(5,0)
OF2=5

三角形ABF2面积=AOF2面积+BDF2面积
两个三角形底边是OF2=5
高是A和B到x轴距离
假设A在B上方
A(x1,y1),B(x2,y2)
y1>0,y2<0
所以(y1-y2)*OF2/2=S=20
y1-y2=8

设AB是x=ky
代入20x²+45y²=900
20k²y²+45y²=900
y²=900/(20k²+45)
y=±30/√(20k²+45)
y1-y2=60/√(20k²+45)=8
√(20k²+45)=7.5
20k²+45=56.25
k²=9/16
k=±3/4
所以是
4x+3y=0,4x-3y=0

Answer 3

焦点坐标(±5,0)

△ABF2可以分成两个小三角形△OAF2和△OBF2
△OAF2的底边即OA长，为5；高即A的纵坐标绝对值
同理△OBF2的底边即OB长，为5；高即B的纵坐标绝对值

容易知道，AB两点是相对原点对称的，纵坐标绝对值相等，容易知道等于4
(x,±4)代入椭圆方程
可以得到x=±6

AB的斜率可正也可负
所以y=±2x/3