Question

在抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C

在抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C抛物线的顶点为M，直线y=x-3过B,C两点
(1)求这条抛物线的解析式
（2）连接AC,CM,BM求四边形ACMB的面积
（3）三角形OAC是否与三角形BCM相似？如果相似，请证明，若不相似，请说明理由
（4）抛物线上是否存在一点P，使得△PBC成为以BC为直角边的直角三角形？若有请求出，若没有，请说明理由

Answer 1

(1) y=x²-2x-3
(2) 面积为9
(3) 相似
(4) 不存在

Answer 2

解：（1）由直线y=kx+3与y轴相交于点C，得C（0，3）
tan∠OBC=1
∠OBC=450
OB=OC=3
点B（3，0）………………1分
点B（3，0）在二次函数y=ax2+2x+3的图像上
9a+6+3=0…………………………… 2分
a=－1 ……………………………3分
y=－x2+2x+3=－(x－1)2+4
顶点D（1，4）…………………………4分
又D(1,4)在直线y=kx+3上
4=k+3
k=1
既：a=－1,k=1 ……………………………5分
（2）在二次函数y=－x2+2x+3的图像上存在点P，
使得ΔPBC是以BC为一条直角边的直角三角形…6分
由 (1)可知，直线y=x+3与x轴的交点为E（－3，0）
OE=OC=3
∠CEO=450
∠OBC=450
∠ECB=900……………………………………7分
∠DCB=900
ΔDCB是以BC为一条直角边的直角三角形，且点
D（1，4）在二次函数的图像上，则点D是所求的P点……8分
方法一：设∠CBP=900,点P在二次函数y=－x2+2x+3的图像上，则ΔPBC是以BC为一条直角边的直角三角形，
∠CBO=450
∠OBP=450
设直线BP与y轴交于点F，则F(0,－3)
直线BP的表达式为y=x－3……………………9分
解方程组得
或
由题意得，点P(－2,－5)为所求。
综合①②，得二次函数y－x2+2x+3的图像上存在点P(1,4)或
P(－2,－5),使得ΔPBC是以BC为一条直角边的直角三角………10分
方法二：在y轴上取一点F(0，－3)，则OF=OC=3,由对称性可知，
∠OBF=∠OBC=450
∠CBF=900
设直线BF与二次函数y=－x2+2x+3的图像交于点P，由（1）知B（3，0），
直线BF的函数关系式为y=x－3（以下与方法一同）………………9分