Question

CD是三角形ABC的高，且CD的平方=AD乘BD。求证：三角形是直角三角形

Answer 1

CD是三角形ABC的高，ΔBDC,ΔACD都是直角三角形
CD^2=AD*BD
即CD:AD=BD:CD
RtΔBDC∽RtΔACD
∠BCD=∠CAD,∠ACD=∠CBD
又，∠CBD+∠BCD=90°
所以，∠BCD+∠ACD=90°
三角形是直角三角形

Answer 2

CD²=AD*BD,
AC²-AD²=AD*BD,[CD是三角形ABC的高,CD²=AC²-AD²]
BC²-BD²=AD*BD,[CD是三角形ABC的高,CD²=BC²-BD²]
2式相加:
AC²-AD²+BC²-BD²=2AD*BD,
AC²+BC²=AD²+2AD*BD+BD²=(AD+BD)²=AB²,
所以三角形ABC是直角三角形.

Answer 3

CD的平方=AD乘BD
即AD：CD=CD：BD，加直角
直角三角形ACD相似于CDB
角A+角B=角A+角ACD=90度
三角形ABC是直角三角形

Answer 4

这是射影定理的推论
CD的平方=AD乘BD
即AD：CD=CD：BD，CD为高
直角三角形ACD相似于CDB
BCD=∠CAD,∠ACD=∠CBD
又，∠CBD+∠BCD=90°
角A+角B=角A+角ACD=90度
三角形ABC是直角三角形