Question

已知实数x,y满足x²+y²=1,试证明(1-xy)(1+xy)的最小值为3／4

Answer 1

(1-xy)(1+xy)
=1-x²y²
=1-x²(1-x²)
=x^4-x²+1
=(x^4-x²+1/4)-1/4+1
=(x²-1/2)²+3/4
∵0≤x²≤1
x²=1/2时，有最小值
最小值=0+3/4=3/4
∴最小值为3/4
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Answer 2

（1-xy）（1+xy）=1-x²y² ①
x²+y²=1可得y²=1-x² 代入① 得：1-x²y²=1-（1-x²）x²=x^4-x²+1
利用完全平方公式：x^4-x²+1=（x²-1/2）²+1-1/4=（x²-1/2）²+3/4≥3/4