Question

如图,已知在矩形ABCD中,E为CB延长线上一点,CE=AC,F是AE的中点.

（1）求证BF⊥DF(用两种方法正明)
（2）若AB=8，AD=6，求DF的长。

Answer 1

分析：（1）连接BD交AC于O，连接FO，根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AC=BD=2AO=2CO，AO=CO，推出OF是三角形AEC的中位线，得出2FO=EC=AC=BD，根据直角三角形的判定推出直角即可；
（2）求出AC和BD，得出CE长，求出BE，根据勾股定理求出AE，求出BF，在△BFD中，由勾股定理求出DF即可．

解答：（1）①

证明：

连接BD交AC于O，连接FO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD=2AO=2CO，AO=CO，
∵F为AE中点，
∴FO=1/2CE，

∵AC=CE，
∴FO=1/2AC=1/2BD，

即FO=OB=OD，
∴∠DFB=90°，
即BF⊥DF；

②证明：延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴MD∥BC，
∴∠AMF=∠EBF，∠E=∠MAF，又FA=FE，
∴△AFM≌△EFB，
∴AM=BE，FB=FM，
∵矩形ABCD中，
∴AC=BD，AD=BC，
∴BC+BE=AD+AM，即CE=MD，
∵CE=AC，
∴AC=BD=DM，
∵FB=FM，
∴BF⊥DF．

  

Answer 2

（1）①延长BF与DA，交点为G，连接BD

DG=CE=CA=BD

F是BG中点，所以，BF⊥DF

②连接BD，交AC于O，连接OF

则2OF=EC=CA=BD

∴  ∠BFD=90°

（2）BD=10

BF=2·√5

∴  DF=4·√5