Question

已知：如图所示，E是已知矩形ABCD的边CB延长线上的一点，CE=CA,F是AE的中点。求证：BF⊥FD

Answer 1

连接BD交AC于H点，所以H为AC和BD的中点

在三角形ACE中，因为F为AE的中点，所以FH为三角形ACE的中位线，FH＝EC/2＝CA/2＝BD/2

在三角形BFD中，因为H为BD的中点，且FH＝BD/2，所以三角形为直角三角形，角BFD＝90度，所以BF⊥FD

Answer 2

证明 ：因矩形ABCD， 所以 角ABE=BAD=ABC=90度，AD=BC
因F是AE中点，所以AF=FB=FE，所以角FBA=FAB，所以角FBC=FAD，
所以三角形FAD全等于三角形FBC，所以角BFC=角AFD
因CE=CA，F是AE中点，
所以CF⊥AE，所以角AFC=90度，
所以角AFD+DFC=角BFC+DFC =角DFB=90度，
所以BF⊥FD

不用做任何辅助线！！

Answer 3

证明：因为：F是直角三角形ABE的斜边AE上的中线
所以：EF=BF=AF, 即∠FEB=∠FBE=∠FAC, (由AC=EC得）
又由∠AFC=∠ADC=90°得：A,F,C,D四点共元
所以：∠ADF=∠ACF
而：∠FAC+∠ACF=∠FBE+∠FBA=90°，且∠FBE=∠FAC
所以：∠FCA=∠FBA
所以：∠FBA=∠FDA
所以：A,F,B,D四点共元
所以：∠BFD=∠BAD=90°
即；DF⊥FB

Answer 4

过F点做AD 的平行线 交AB 于 G 点
则 有 FG 垂直于 AB
三角形 AFG 全等于 三角形 BFG
（全等条件： F中点 所以 G 也是重点 AG=FG 都有一直角 和 公共边FG 边角边）
所以 有 AF= BF 角FAB = 角 FBA 又得 角FAD=角FBC（都加一直角）
又 AD=BC 所以 三角形 FAD 全等于三角形 FBC (边角边)
所以 有 角 BFC= 角AFD
角AFD + 角DFC = 90 换量 角BFC+ 角DFC = 90
所以 BF 垂直 FD

Answer 5

因为四边形ABCD是矩形，
所以∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝BC，
因为F是AE的中点，所以BF＝1/2AE＝AF，
所以∠BAF＝∠ABF，所以∠DAF＝∠CBF.
在△ADF和△BCF中，AD＝BC，∠DAF＝∠CBF，AF＝BF.
所以△ADF≌△BCF，所以∠AFD＝∠CFB，
又CA＝CE，AF＝BF，所以CF⊥AE，
所以∠AFD＋∠DFC＝90°，∠CFB＋∠DFC＝90°，
所以BF⊥FD.