Question

已知圆C的方程为x 2 +y 2 =1，直线l 1 过定点A（3，0），且与圆C相切。（1）求直线l 1 的方程； （2）设

已知圆C的方程为x 2 +y 2 =1，直线l 1 过定点A（3，0），且与圆C相切。（1）求直线l 1 的方程； （2）设圆C与x轴交于P、Q两点，M是圆C上异于P、Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l 2 ，直线PM交直线l 2 于点P′，直线QM交直线l 2 于点Q′，求证：以P′Q′为直径的圆C′总过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

解：（1）∵直线l 1 过点A（3，0），且与圆C：x 2 +y 2 =1相切， 设直线l 1 的方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0， 则圆心O（0，0）到直线l 1 的距离为d= =1，解得k=± ， ∴直线l 1 的方程为y=± （x-3）． （2）对于圆C：x 2 +y 2 =1，令y=0，则x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）， 又直线l 2 过点A且与x轴垂直， ∴直线l 2 的方程为x=3， 设M（s，t），则直线PM的方程为y= （x+1）， 解方程组 ，得P′（3， ），同理可得Q′（3， ）， ∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为（x-3）（x-3）+（y- ）（y- ）=0， 又s 2 +t 2 =1， ∴整理得（x 2 +y 2 -6x+1）+ y=0， 若圆C′经过定点，只需令y=0，从而有x 2 -6x+1=0，解得：x=3±2 ， ∴圆C′总经过定点，定点坐标为（3±2 ，0）．