Question

已知抛物线y2=2px（p＞0）上的任意一点P到该抛物线焦点的距离比该点到y轴的距离多1． （Ⅰ）求p的值；（

已知抛物线y2=2px（p＞0）上的任意一点P到该抛物线焦点的距离比该点到y轴的距离多1． （Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）如图所示，过定点Q（2，0）且互相垂直的两条直线l1、l2分别与该抛物线分别交于A、C、B、D四点．（i）求四边形ABCD面积的最小值；（ii）设线段AC、BD的中点分别为M、N两点，试问：直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知

p

2

＝1，∴p=2；
（Ⅱ）（i）由题意可设直线?₁的方程为x=2+my（m≠0），代入y²=4x得y²-4my-8=0，
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则

y1+y2＝4m y_?y2＝?8

，△=16（2+m²）＞0，
∴|AC|＝

(x1?x2)2+(y1+y2)2

＝

(m2+1)(y1?y2)2

＝

(m2+1)[(y1?y2)2?4y1y2]

=

(m2+1)(16m2+32)

＝4

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