Question

如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设

如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．（1）在以下结论①∠FDB=∠FEB；②MC垂直平分BD；③△DFN∽△EBD中正确的有______，请选择一个你认为正确的结论进行证明．（2）若MC=2，求BF的长．

Answer 1

（1）①②③．
②MC垂直平分BD，
证明如下：连接BM、DM．
∵ABCD是正方形，
∴∠A=∠DCE=90°，AD=CD；
又∵AF=EC（已知），
∴△AFD≌△CED．（SAS）
∴∠FDA=∠EDC，DF=DE．
∴∠FDE=∠ADC=90°．
∵M是EF的中点，
∴MD=

1

2

EF；
∵BM=

1

2

EF，
∴MD=MB=PC．
又 DC=BC，MC是公共边，
∴△DCM≌△BCM，（SSS）
∴∠BCM=∠DCM，
∴CM在正方形ABCD的角平分线AC上，
∴MC垂直平分BD；

（2）过点M作MQ⊥BC于点Q．
由（1）知，CM即BD的中垂线，
∴∠MCQ=45°；
又∵点M是EF的中点，
∴MQ是直角三角形EFB的中位线，
∴MQ=

1

2

BF；
又∵MC=

2

∴MQ=1，
∴BF=2MQ=2．