Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点， DF AC于F．（1）求证：DF为⊙O

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点， DF AC于F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若 ，CF=9，求AE的长．

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Answer 1

（1）证明见解析；（2）7．

试题分析：（1）连接OD，AD，求出OD∥AC，推出OD⊥DF，根据切线的判定推出即可. （2）求出CD、DF，推出四边形DMEF和四边形OMEN是矩形，推出OM=EN，EM=DF=12，求出OM，即可求出答案． 试题解析：（1）连接OD，AD， ∵AB是⊙的直径，∴∠ADB=90°. 又∵AB=AC，∴BD=CD. 又∵OB=OA，∴OD∥AC. ∵DF⊥AC，∴OD⊥DF. 又∵OD为⊙的半径，∴DF为⊙O的切线． （2）连接BE交OD于M，过O作ON⊥AE于N，则AE=2NE， ∵ ，CF=9，∴DC=15．∴ . ∵AB是直径，∴∠AEB=∠CEB=90°. ∵DF⊥AC，OD⊥DF，∴∠DFE=∠FEM=∠MDF=90°.∴四边形DMEF是矩形. ∴EM=DF=12，∠DME=90°，DM=EF.即OD⊥BE. 同理四边形OMEN是矩形，∴OM=EN. ∵OD为半径，∴BE=2EM=24. ∵∠BEA=∠DFC=90°，∠C=∠C，∴△CFD∽△CEB. ∴ ，即 . ∴EF=9=DM. 设⊙O的半径为R， 则在Rt△EMO中，由勾股定理得： ，解得： . 则EN=OM= . ∴AE=2EN=7．