如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于点D,DE⊥AC于点E,BE交⊙O于点F,连接AF
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于点D,DE⊥AC于点E,BE交⊙O于点F,连接AF,AF的延长线交DE于点P.(1)求证:...
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于点D,DE⊥AC于点E,BE交⊙O于点F,连接AF,AF的延长线交DE于点P. (1)求证:DE是⊙O的切线;(2)求tan∠ABE的值;(3)若OA=2,求线段AP的长.
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解:(1)证明:如图,连接AD、OD, ∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°。 ∵AB=AC,∴AD垂直平分BC,即DC=DB。 ∴OD为△BAC的中位线。∴OD∥AC。 又∵DE⊥AC,∴OD⊥DE。 ∴DE是⊙O的切线。 (2)∵OD⊥DE,DE⊥AC,∴四边形OAED为矩形。 ∵OD=OA,∴四边形OAED为正方形。 ∴AE=AO。∴ ![](https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/6a63f6246b600c335ffb857a194c510fd8f9a186?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto) 。 (3)∵AB是⊙O的直径,∴∠AFB=90°。∴∠ABF+∠FAB=90°。 ∵∠EAP+∠FAB=90°,∴∠EAP=∠ABF。∴tan∠EAP=tan∠ABE= ![](https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/77c6a7efce1b9d16e050c1d3f0deb48f8d5464e8?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto) 。 在Rt△EAP中,AE=2, ∵ ![](https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/f7246b600c338744324774ce520fd9f9d62aa086?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto) ,∴EP=1。 ∴ ![](https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/91ef76c6a7efce1b81bc9378ac51f3deb58f65e8?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto) 。 |
试题分析:(1)连接AD、OD,根据圆周角定理得∠ADB=90°,由AB=AC,根据等腰三角形的直线得DC=DB,所以OD为△BAC的中位线,则OD∥AC,然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE,从而根据切线的判定定理即可得到结 论。 (2)易得四边形OAED为正方形,然后根据正切的定义计算tan∠ABE的值。 (3)由AB是⊙O的直径得∠AFB=90°,再根据等角的余角相等得∠EAP=∠ABF,则tan∠EAP=tan∠ABE= ![](https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/77c6a7efce1b9d16e050c1d3f0deb48f8d5464e8?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto) ,在Rt△EAP中,利用正切的定义可计算出EP,然后利用勾股定理可计算出AP。 |
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