Question

如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90?，AD=10，CD=4，BC=6，E是BC的中点，动点P从点A出发，沿边AB以每

如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90?，AD=10，CD=4，BC=6，E是BC的中点，动点P从点A出发，沿边AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设动点P运动的时间为t秒．（1）求线段AB的长；（2）当△PBE与△DCE相似时，求t的值；（3）如图2，连接PD，以PD所在直线为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′，若点C′落在线段AD上，则t的值为______（直接写出答案即可）．

Answer 1

（1）如图1，作DF⊥AB于F，
∴∠AFD=∠BFD=90°．
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDF是矩形，
∴BF=CD，DF=BC．
∵CD=4，BC=6，
∴BF=4，DF=6．
在Rt△AFD中，由勾股定理，得
AF=

100?36

=8．
∴AB=4+8=12．
（2）如图2，当P运动t秒时，△PBE∽△DCE
∴

PB

DC

＝

BE

CE

．
∵AP=t，
∴BP=12-t．
∵E是BC的中点，
∴CE=BE=3．
∴

12?t

4

＝

3

3

，
∴t=8；
如图3，当P运动t秒时，△PBE∽△ECD，
∴

PB

EC

＝

BE

CD

∴

12?t

3

＝

3

4

，
∴t=

39

4

．
∴t的值为8或

39

4

；
（3）如图4，作CB关于PD的轴对称图形C′B′交AB于点G，连接PB′，
∴∠DC′B′=∠C=90°，∠B′=∠B=90°，C′D=CD=4，PB′=PB．
∴AC′=6，
如图1，在Rt△AFD中，AD=10，DF=6，AF=8，
tan∠A=

3

4

，cos∠A=

4

5

．
在Rt△AC′G中，
tan∠A=

GC′

AC′

=

3

4

，
∴

GC′

6

＝

3

4

，
∴GC′=

9

2

，
cos∠A=

AC′

AG

＝

4

5

，
∴

6

AG

＝

4

5

，
∴AG=

15

2

，
∴GP=t-

15

2

，PB=PB′=12-t，
∵△AC′G∽△PB′G，
∴

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