Question

可以证明，对任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面尝试推广该命题：（1）设由三项组成的

可以证明，对任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面尝试推广该命题：（1）设由三项组成的数列a1，a2，a3每项均非零，且对任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有满足条件的数列；（2）设数列{an}每项均非零，且对任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，数列{an}的前n项和为Sn．求证：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；（3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列{an}，使得a2011=2009？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）； 若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）取n=1，有a₁²=a₁³，又a₁≠0，所以a₁=1．
取n=2，有（1+a₂）²=1+a₂³，于是a₂（a₂-2）（a₂+1）=0，又a₂≠0，所以a₂=-1或2．
取n=3，有（1+a₂+a₃）²=1+a₂³+a₃³，
当a₂=-1时，a₃²=a₃³，又a₃≠0，所以a₃=1．
当a₂=2时，（1+2+a₃）²=1+2³+a₃³，整理得a₃（a₃-3）（a₃+2）=0，所以a₃=3或-2．
综上，说有满足条件的数列为1，-1，1，或1，2，3，或1，2，-2．
（2）由已知，S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³，用n+1替换n，得到（S_n-a_n+1）²=a₁³+…+a_n+1³，两式相减，
有a_n+1³-（S_n-a_n+1）²-S_n²=（2S_n-a_n+1）a_n+1，因a_n+1≠0，所以a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N⁺
（3）存在，1，-1，1，2，3，…，2008，2009，2010，…是一个满足条件的无穷数列．