Question

可以证明，对任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面尝试推广该命题：（1）设由三项组成的

可以证明，对任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面尝试推广该命题：（1）设由三项组成的数列a1，a2，a3每项均非零，且对任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有满足条件的数列；（2）设数列{an}每项均非零，且对任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，数列{an}的前n项和为Sn．求证：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；（3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列{an}，使得a2012=-2011？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）； 若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）取n=1有a₁²=a₁³，又a₁≠0，∴a₁=1
取n=2，有（1+a₂）²=1+a₂³，∴a₂=-1或2
当a₂=-1时，同理得a₃=1；
当a₂=2时，同理得a₃=3或-2
综上知，所有满足条件思维数列为1，-1，1；1，2，3；1，2，-2．
（2）由已知当n≥2时，a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，
a₁³+a₂³+…+a_n-1³=S_n-1²，
两式相减知：a_n³=S_n²-S_n-1²=a_n（2a₁+2a₂+…+2a_n-1+a_n），
∵a_n＞0
∴a_n²=2a₁+2a₂+…+2a_n-1+2a_n-a_n
∴a_n²=2S_n-a_n
∴a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N^*；
（3）存在，an＝

n，1≤n≤2011 (?1)n+1?2011，n≥2012

是一个满足条件的无穷数列．