Question

一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad长为L，现

一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad长为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为v0的带正电粒子，如图所示．已知粒子电荷量为q，质量为m（重力不计）：（1）若要求粒子能从ab边射出磁场，v0应满足什么条件？（2）若要求粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应从哪一条边界处射出，出射点位于该边界上何处？最长时间是多少？

Answer 1

（1）当粒子轨迹恰好与cd边相切时，是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最大的情况，设此半径为R₁，如图甲所示．
则有R1cos600+

L

2

＝R1
可得：R₁=L
当粒子轨迹恰好与ab相切时是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最小的情况，设此半径为R₂，如图乙所示
则有：R2sin300+R2＝

L

2

得：R2＝

L

3

故粒子从ab边射出的条件为R₂＜R≤R₁，
即

L

3

＜R≤L
根据qv0B＝m

v0

R

，得v0＝

qBR

m

所以

qBL

3m

＜v0≤

qBL

m

（2）因为t＝

θ

2π

T＝

mθ

Bq

所以粒子运动所经过的圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长，从图中可以看出，如果粒子从cd边射出，则圆心角最大为60°，若粒子从ab边射出，则圆心角最大为240°，粒子从ab边射出，圆心角最大为360°-60°=300°，由于磁场无右边界，故粒子不可能从右侧射出．
综上所述，为使粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应从ad边射出，如图乙所示，设出射点到O的距离为x，从图中可以看出，P点是离O距离最大的出射点PO＝2R2sin300＝

L

3

则x≤

L

3

，即出射点到O的距离不超过

L

3

tmax＝

θmax

2π

T＝

1

2π

5π

3

2πm

Bq

＝

5πm

3Bq

答：（1）若要求粒子能从ab边射出磁场，v₀应满足

qBL

3m

＜v0≤

qBL

m

；
（2）若要求粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应从ad边界处射出，出射点位于该边界上到O的距离不超过

L

3

；
最长时间是

5πm

3qB

．