Question

竖直平面内的轨道ABC由水平滑道AB与光滑的四分之一圆弧道BC平滑连接组成，轨道放在光滑的水平面上．一个

竖直平面内的轨道ABC由水平滑道AB与光滑的四分之一圆弧道BC平滑连接组成，轨道放在光滑的水平面上．一个质量为m=1kg的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初速度v0=8m/s冲上水平滑道AB，沿着轨道运动，由CB弧滑下后停在水平滑道AB的中点．已知轨道ABC的质量为M=3kg．求：（1）小物块和滑道相对静止时共同的速度；（2）若小物块恰好不从C端离开滑道，圆弧滑道的半径R应是多大？（3）若增大小物块的初速度，使得小物块冲出轨道后距离水平滑道AB的最大高度是2R，小物块的初速度v0应多大．

Answer 1

（1）小物块冲上轨道的初速度设为v₀，最终停在AB的中点，跟轨道有相同的速度，设为V₁．在这个过程中由系统动量定恒有
mv₀=（M+m）v₁①
可得v₁=2m/s②
（2）小物块冲上轨道到最终停在AB的中点，设物块与轨道间滑动摩擦力为f，由能量定恒

3

2

fL=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

（M+m）

v

2 1

③
若小物块恰好到达C端，此时它与轨道有共同的速度V₁，在此过程中系统总的动能减少转化为内能和物块的势能
fL+mgR=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

（M+m）

v

2 1

④
由③、④解得，要使物块恰好不从C点离开滑道，圆弧半径应为
R=0.8m⑤
（3）设物块以初速度v′₀上轨道，可以在到的最大高度为2R，物块从C点离开轨道，其水平方向的速度总与轨道速度相等，达到最高点时，
物块水平跟轨道的速度相等（设为V₂）
mv′₀=（m+M）v₂ ⑥

1

2

m

v′

2 0

=

1

2

（m+M）

v

2 2

+mg?2R+fL⑦
由⑥、⑦可得

v′

2 0

=9.25m/s
答：（1）小物块和滑道相对静止时共同的速度是2m/s；
（2）若小物块恰好不从C端离开滑道，圆弧滑道的半径R应是0.8m
（3）若增大小物块的初速度，使得小物块冲出轨道后距离水平滑道AB的最大高度是2R，小物块的初速度v₀应是9.25m/s