Question

竖直平面内的轨道ABC由粗糙水平轨道AB与光滑的四分之一圆弧道BC平滑连接组成，轨道固定在光滑的水平面上

竖直平面内的轨道ABC由粗糙水平轨道AB与光滑的四分之一圆弧道BC平滑连接组成，轨道固定在光滑的水平面上．一个质量为m=1.0kg的小物块（可视为质点）从轨道的A端以v0=6.0m/s初速度冲上水平轨道AB，它与水平轨道的动摩擦因数为0.50．由CB弧滑下后停在水平滑道AB的中点．求：（1）水平轨道AB的长度是多少米？（2）若小物块第二次经过B点时，对轨道压力是34N，那么BC的半径R是多大？（3）若增大小物块的初速度，BC改成半圆形光滑轨道，若能使小球通过半圆轨道的最高点，则小物块的初速度v0′应至少多大．

Answer 1

（1）由题意整个过程中只有水平段的摩擦力对物体做功，根据动能定理有：
?μmg(L+

L

2

)＝0?

1

2

m

v

2 0

AB段的长度L=

v 2 0

3μg

＝

62

3×0.5×10

m＝2.4m
（2）设在B点的速度为v₁，从开始到B点由动能定理得：

1

2

m

v

2 1

?

1

2

m

v

2 0

＝?μmgL      ①
在B点根据牛顿第二定律：F?mg＝m

v 2 1

R

     ②
由①②式可解得得：R=0.50m
（3）小物体恰好经过在最高点时由牛顿第二定律得：
mg＝m

v 2 2

R

       ③
从开始到最高点，有动能定理得到：
?μmgL?2mgR＝

1

2

m

v

2 2

?

1

2

m

v

′2 0

      ④
由③④式可得到：

v

′ 0

＝6.4m/s
答：（1）水平轨道AB的长度是2.4米；
（2）若小物块第二次经过B点时，对轨道压力是34N，那么BC的半径R是0.5m；
（3）若增大小物块的初速度，BC改成半圆形光滑轨道，若能使小球通过半圆轨道的最高点，则小物块的初速度v₀′应至少为6.4m/s．