Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=2x．若对任意的x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f2（x）

设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=2x．若对任意的x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f2（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

由题意，f(x)＝

2x，(x≥0) ( 1 2 )x，(x＜0)

（4分）
（1）当a≥0时，即有2^x+a≥2^2x，x≤a，不合                        （6分）
（2）当a+2≤0时，即有(

1

2

)x+a≥(

1

2

)2x，x≥a，恒成立，a≤-2符合                 （8分）
（3）当-2＜a＜0时，若x+a≥0，则a+2≥-a，a≥-1由（1）得不合
若x＜0由（2）得成立，则x+a＜0，x＞0时恒成立，即(

1

2

)x+a≥22x，x≤?

a

3

，
∴a+2≤?

a

3

，a≤?

3

2

，∴?2＜a≤?

3

2

（14分）
综上，实数a的取值范围a≤?

3

2

（15分）