Question

从圆x2+y2=4上任意一点P作x轴的垂线，垂足为Q，点M在线段PQ上，且QM＝λQP(0＜λ＜1)．（Ⅰ）求点M的轨迹

从圆x2+y2=4上任意一点P作x轴的垂线，垂足为Q，点M在线段PQ上，且QM＝λQP(0＜λ＜1)．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）如果点A（-3，4）关于直线y=x+4的对称点B在曲线C上，求λ的值．

Answer 1

解：（I）设M（x，y），由题意Q（x，0），P（x，y₁）（2分）
由

QM

＝λ

QP

(0＜λ＜1)得，
（0，y）=λ（0，y₁），所以y1＝

y

λ

，（4分）
∵P（x，y₁）在圆x²+y²=4上，
∴点M的轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

4λ2

＝1(0＜λ＜).（6分）
（II）设点B（m，n），依题意有

n?4 m+3 ＝?1 n+4 2 ＝ m?3 2 +4

，（9分）
解得m=0，n=1，B（0，1）（11分）
由B在曲线C上得，λ=

1

2

（13分）