Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=sinx-cosx，下列四个命题：①将f（x）的图象向右平移π2个单位可得到g

已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=sinx-cosx，下列四个命题：①将f（x）的图象向右平移π2个单位可得到g（x）的图象；②y=f（x）g（x）是偶函数；③f（x）与g（x）均在区间[-π4，π4]上单调递增；④y=f(x)g(x)的最小正周期为2π．其中真命题的个数是（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

f（x）=sinx+cosx=

2

（

2

2

sinx+

2

2

cosx）=

2

sin（x+

π

4

），
g（x）=sinx-cosx=

2

（

2

2

sinx-

2

2

cosx）=

2

sin（x-

π

4

），
①将f（x）的图象向右平移

π

2

个单位可得到的解析式为：

2

sin（x-

π

2

+

π

4

）=

2

sin（x-

π

4

）=g（x），
本选项为真命题；
②y=f（x）g（x）=（sinx+cosx）（sinx-cosx）=sin²x-cos²x=-cos2x，
∵余弦函数为偶函数，∴y为偶函数，本选项为真命题；
③f（x）=

2

sin（x+

π

4

），g（x）=

2

sin（x-

π

4

），
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得：-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，k∈Z，
令-

π

2

+2kπ≤x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得：-

π

4

+2kπ≤x≤

3π

4

+2kπ，k∈Z，
故f（x）与g（x）均在区间[-

π

4

，

π

4

]上单调递增，本选项为真命题；
④y=

f(x)

g(x)

=

sinx+cosx

sinx?cosx

=

tanx+1

tanx?1

=-

tanx+tan π 4

1?tanxtan π 4

=-tan（x+

π

4

），
∵ω=1，∴T=

π

1

=π，本选项假命题；
综上，真命题的个数为3．
故选C