Question

平面内动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F的

平面内动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若kl=-1，求弦AB的长．

Answer 1

（1）设P（x，y），
由P到定点F（1，0）的距离为

(x?1)2+y2

，
P到y轴的距离为|x|，
当x≤0时，P的轨迹为y=0（x≤0）；
当x＞0时，又动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，
列出等式：

(x?1)2+y2

-|x|=1，
化简得y²=4x（x≥0），为焦点为F（1，0）的抛物线．
则动点P的轨迹方程为y²=4x或y=0（x≤0）．
（2）直线l：y=-x+1与y²=4x联立，消去y，整理可得：x²-6x+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=6．
则|AB|=x₁+x₂+p=6+2=8．